Question

函数的奇偶性与其导函数的奇偶性有什么关系

Answer 1

f（x）是奇函数，, f（-x）-f（x），两边求导，得到f'（-x）（-1）=-f'（x），f'（-x)=f'（x），即f'（x）是偶函数。

f（x) 是偶函数，f（-x）=f（x），两边求导，得到 f'（-x）（-1）=f'（x），f'（-x)=-f'（x），即f'（x）是奇函数。奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

两个偶函数相加所得的和为偶函数。两个奇函数相加所得的和为奇函数。两个偶函数相乘所得的积为偶函数。两个奇函数相乘所得的积为偶函数。一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；若无偶函数则是奇函数。

偶函数的和差积商是偶函数。奇函数的和差是奇函数。奇函数的偶数个积商是偶函数。奇函数的奇数个积商是奇函数。奇函数的绝对值为偶函数。偶函数的绝对值为偶函数。

Answer 2

f(x) 是奇函数, f(-x)=-f(x),

两边求导,得到 f'(-x)(-1)=-f'(x)

∴f'(-x)=f'(x),即f'(x)是偶函数.

f(x) 是偶函数, f(-x)=f(x),

两边求导,得到 f'(-x)(-1)=f'(x)

∴f'(-x)=-f'(x),即f'(x)是奇函数.

∴奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

Answer 3

f(x) 是奇函数, f(-x)=-f(x),
两边求导,得到 f'(-x)(-1)=-f'(x)
∴f'(-x)=f'(x),即f'(x)是偶函数.
f(x) 是偶函数, f(-x)=f(x),
两边求导,得到 f'(-x)(-1)=f'(x)
∴f'(-x)=-f'(x),即f'(x)是奇函数.
∴奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

Answer 4

①知识点定义来源&讲解：

函数的奇偶性与其导函数的奇偶性之间存在一定的关系。这个概念源自微积分中的导数和函数性质的研究。

在微积分中，函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质。如果对于任意一个实数 x，函数 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 被称为奇函数。这意味着函数的图像关于坐标原点对称。另一方面，如果对于任意一个实数 x，函数 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 被称为偶函数。这意味着函数的图像关于 y 轴对称。

导函数是原函数的导数，描述了函数在每个点处的斜率。根据导函数的性质，可以推导出函数的奇偶性和导函数的奇偶性之间的关系。

②知识点运用：

函数的奇偶性经常用于简化函数的分析和图像绘制。通过研究函数的奇偶性，我们可以更快地了解函数图像的对称属性，从而获得有关函数性质的重要信息。

导函数的奇偶性与函数的奇偶性之间的关系可以帮助我们通过分析导函数来推断函数的奇偶性。

③知识点例题讲解：

以下是一个例题来说明函数的奇偶性与其导函数的奇偶性的关系：

假设函数 f(x) 是一个奇函数，并且存在导函数 f'(x)。问函数 f'(x) 的奇偶性是什么？

根据函数的奇函数定义，有 f(-x) = -f(x)。对这个方程两边同时求导，可以得到 f'(-x) = -f'(x)。

由此可见，如果原函数 f(x) 是一个奇函数，那么其导函数 f'(x) 是一个偶函数。奇函数的导数是偶函数。

类似地，如果原函数 f(x) 是一个偶函数，那么其导函数 f'(x) 是一个奇函数。偶函数的导数是奇函数。

这个例题说明了函数的奇偶性与其导函数的奇偶性之间的关系。这个关系可以帮助我们通过分析导函数来推断函数的奇偶性，反之亦然。

Answer 5

若F(X)为f(X)的任意原函数，则
f(X)为奇函数⇔F(X)为偶函数
f(X)为偶函数（不能推出）F(X)为奇函数
F(X)为奇函数⇒f(X)为偶函数

2019版 李王复习全书第五页原话