Question

函数f(x)奇偶性与它的导数的奇偶性的关系，并给出证明过程

有没有人用不定积分完成证明
回函：baobei1222 - 助理 二级
您给出的证明是，已知原函数的奇偶性，推出导函数的奇偶性，
即：如已知(F(x))'=f(x)，且F(-x)=-F(x)
有对F(-x)=-F(x)两边对x求导，得f(-x)(-x)'=-f(x)
即，f(-x)=f(x),得证。

但现在假如已知的是导函数的奇偶性，试证原函数的奇偶性，
此时如设(F(x))'=f(x)，且f(-x)=-f(x)
对f(-x)=-f(x)两边对x求不定积分，
产生 -F(-x)+C1=-F(x)+C2, C1、C2为任意常数，

接下去是否可以认为 函数族-F(-x)+C1和 函数族-F(x)+C2相等
令C1=C2时，有-F(-x)=-F(x)，
但这样证明，我总觉得有点变扭，还请各位同仁指点迷津。
同时感谢baobei1222给于的帮助，望再给于关注。

另外还有一个问题：是否可以对一个等式如f(x)=g(x)同时对等式两边对x求不定积分？

Answer 1

为什么要用不定积分,只要用导数法则和奇偶性质就可以很容易解的嘛
比如,设f(x)为奇函数
则f(x)=-f(-x)
所以f'(x)=(-f(-x))'=-f'(-x)(-x)'=f'(-x)
所以f(x)的导函数是偶函数
同理可证,若f(x)为偶函数,则它的导函数为奇函数.