Question

函数y=f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y-x)=f(y),且当x>0,f(x)<0

判断其单调性，对任意t属于[1,2],f(t*x平方-2x)<f(t+2)恒成立，求x范围

Answer 1

（1）证明：令x=y=0，代入f（x）+f（y-x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0 再令y=0，那么f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），
所以函数y=f（x）是奇函数；
（2）解：函数y=f（x）在整个R上是减函数
证明：令y＞x，则y-x＞0，
∵f（x）+f（y-x）=f（y），
∴f（y）-f（x）=f（y-x），
因为当x＞0，f（x）＜0，而y-x＞0，所以f（y-x）＜0 所以f（y）-f（x）＜0，
即y＞x，f（y）＜f（x），
所以函数y=f（x）在整个R上是减函数；
（3）解：对任意t∈[1，2]，f（tx2-2x）＜f（t+2）恒成立
∴对任意t∈[1，2]，tx2-2x＞t+2恒成立
∴对任意t∈[1，2]，（x2-1）t-2x-2＞0恒成立，
令函数h（t）=（x2-1）t-2x-2
分三种情况：i、当x2-1=0时，x=1或-1，代入发现不符合（x2-1）t-2x-2＞0
ii、当x2-1＞0，即x＞1或x＜-1时，函数h（t）=（x2-1）t-2x-2是增函数，所以最小值为h（1）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）＞0，
所以x＞3或x＜-1
所以最后符合的解是：x＞3或x＜-1
iii、当x2-1＜0，即-1＜x＜1时，函数h（t）=（x2-1）t-2x-2是减函数，所以最小值是h（2）=2x2-2x-4=2（x+1）（x-2）＞0，
所以x＞2或x＜-1，与-1＜x＜1矛盾
综上知x的范围是：x＞3或x＜-1

Answer 2

∵f(x)+f(y-x)=f(y)
令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0) ∴f(0)＝0
令y＝0，则f(x)＋f(-x)＝f(0)＝0 ∴f(-x)＝﹣f(x)
设0＜x＜y 则 ∴f(x)－f(y)＝﹣f(y－x)
∵x＜y ∴y－x＞0 ∴f(y－x)＜0 ∴f(x)＞f(y)
∴当x＞0时，f(x)为减函数
∵t∈[1,2],f(t*x平方-2x)<f(t+2)恒成立
∴t∈[1,2],tx²－2x－（t＋2）＞0恒成立
∴(x＋1)[tx－(t＋2)]＞0
∴x＜﹣1或t＞(t＋2)/t