Question

已知数列an 的通项公式为 an= |n+p|+2 若数列{an}是单调递增数列 则实数p的取值范围为_____

已知数列an 的通项公式为 an= |n+p|+2 若数列{an}是单调递增数列 则实数p的取值范围为_____

Answer 1

由前面的几项求得p>-3/2 是不规范严密的，这是一个恒成立的问题。
解：若数列{an}是单调递增数列,则an+1>an对任意正整数n恒成立。
即|n+1+p|+2> |n+p|+2对任意正整数n恒成立
消去2后，两边同时平方可得(n+1)2+2(n+1)p+p2>n2+2np+ p2对任意正整数n恒成立
即 p>-(2n+1)/2 对任意正整数n恒成立
因为 -(2n+1)/2 当n=1时取得最大值-3/2
所以 p>-3/2

Answer 2

a2>a1，则 |p+2|+2>|p+1|+2，
所以 |p+2|>|p+1|， （1）
同理有|p+3|>|p+2| (2)
解（1）得 p>-3/2，
解（2）得 p>-5/2，
取交集得 p>-3/2。

Answer 3

p>-3/2
理由：|2+p|>|1+p|
2+p>1+p>0
显然成立
2+p>0>1+p
则2+p>-(1+p)
p>-3/2