Question

高数2求不定积分的题目

例题是这样的：
（1） ｛1/x^2+x-x*dx={1/(x-1)(x+2)*dx
但它是怎么变成 1/3{(1/x-1-1/x+2)dx的
而最后变成 1/3ln!x-1/x+2!+C的

（2） ｛dx/x(x^2+1)＝｛1＋x^2-x^2/x(x^2+1)dx
而它是怎么变成 {(1/x-x/x^2+1)dx的啊
我不太懂希望各位能详细的解释一下谢谢了！
啊，题目是这样的｛（1/x^2+x-x）*dx={（1/(x-1)(x+2)）*dx
但它是怎么变成 1/3{(1/x-1-1/x+2)dx的
而最后变成 1/3ln｜x-1/x+2｜+C的 因为没找到｜这个符号所以用！代替了抱歉～～
下面一道没什么问题吧

而1/[(x-1)(x+2)]=1/3 [1/(x-1)-1/(x+2)] ，这个是拆项，你通分看看就知道了,……不好意思我就是不知道这是怎么得出来的，怎么通分啊，请你能再详细说说……还有这1/3是怎么求得的……还有这题｛[（x^3-27)/(x-3)]*dx这通分怎么变成{(x^2+3x+9)dx就是这（x^3-27)是怎么化成(x^2+3x+9)(x-3)的这步也能解释一下吗？

Answer 1

1/(x-1)-1/(x+2)=[(x+2)-(x-1)]/(x-1)(x+2)=3/(x-1)(x+2)
注意到分子是3
所以为了使等式两边相等
必须要乘1个（1/3）
使等式两边相等
因此=1/3{(1/(x-1)-1/(x+2))dx
然后因为1/(x-1)的积分是ln(x-1),1/(x+2)的积分是ln(x+2)
因为真数必须大于0，所以要加绝对值符号
=(1/3)*ln|x-1|-(1/3)*ln|x+2|+C
根据对数公式lnx-lny=ln(x/y)
得到(1/3)*ln|(x-1)/(x+2)|+C

｛dx/x(x^2+1)＝｛(1＋x^2-x^2)/x(x^2+1)dx
式子上面加1个x^2,再减一个x^2,主要是为了化简
=[(1-x^2)+x^2]/x(x^2+1)dx
注意到分母是x和x^2+1
因此拆分过后肯定是a/x-b/(x^2+1)的形式
1/x-x/(x^2+1)
=[(x^2+1)-x^2]/x(x^2+1)
可以看到，刚好是加1个x^2,再减一个x^2,而x^2都消掉了
所以｛dx/x(x^2+1)＝｛1＋x^2-x^2/x(x^2+1)dx
={(1/x-x/x^2+1)dx

(x^4-1+1/x^2+1)
=(x^4-1)/(x^2+1)-1/(x^2+1)
注意到x^4-1=(x^2+1)(x^2-1),所以可以进行分解
=(x^2+1)(x^2-1)/(x^2+1)-1/(x^2+1)
=(x^2-1)-1/(x^2+1)

｛[（x^3-27)/(x-3)]*dx
根据立方差公式(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
(x^3-27)=(x-3)*(x^2+3x+9)
所以｛[（x^3-27)/(x-3)]*dx
={（x-3）(x^2+3x+9)/(x-3)dx
上下消掉
={x^2+3x+9 dx
=x^3/3+3x^2/2+9x+C

Answer 2

（1） ｛1/（x^2+x-2）*dx={1/(x-1)(x+2)*dx
而1/[(x-1)(x+2)]=1/3 [1/(x-1)-1/(x+2)] ，这个是拆项，你通分看看就知道了．
那么｛1/（x^2+x-2）*dx={1/(x-1)(x+2)*dx=1/3 {[1/(x-1)-1/(x+2)] dx
=1/3[{1/(x-1)d(x-1)-{1/(x+2)d(x+2)]
=1/3[ln|x-1|-ln|x+2|]+c
=1/3ln｜(x-1)/(x+2)｜+c

（2） ｛dx/x(x^2+1)
＝｛[1＋x^2-x^2]/[x(x^2+1)dx]
=｛[(x^2-1)+1/x^2+1]*dx
这儿用的也是拆项，同上题一样。分母可拆成两个一次因式的积，以这两个一次因式做分母，构造成两项的和差形式。
1/[x(x^2+1)]
=a/x+(bx+c)/(x^2+1)
=(ax^2+a+bx^2+cx)/[x(x^2+1)]
由待定系数法知(对应项系数相等):(a+b)=0,c=0,a=1 所以b=-1
那么:
1/[x(x^2+1)]=a/x+(bx+c)/(x^2+1)=1/x - x/(x^2+1)

(3)｛(x^4/x^2+1)*dx
=(x^4-1+1)/(x^2+1)
=(x^4-1)/(x^2+1)+1/(x^2+1)
=[(x^2+1)(x^2-1)]/(x^2+1)+1/(x^2+1)
=[(x^2-1)+1]/(x^2+1)