Question

在锐角三角形ABC中,角ABC所对的边分别是abc,已知根号3b=2asinaB （1）求角A的大小（2）若a=6，求b+c的取值

在锐角三角形ABC中,角ABC所对的边分别是abc,已知根号3b=2asinaB （1）求角A的大小（2）若a=6，求b+c的取值范围

Answer 1

解：（1）在△ABC中，a=2RsinA,b=2RsinB
∵√3b=2asinB ∴√3×2RsinB=2×2RsinAsinB
∴√3=2sinA ∴sinA=√3/2
∴A=60°
（2）若a=6，且由（1）得A=60°
∴a^2=b^2+c^2-2bccosA
即，36=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc
∵bc≤[(b+c)/2]^2 (当且仅当b=c,等号成立)
∴-3bc≥-3(b+c)^2/4
∴36=(b+c)^2-3bc≥-3(b+c)^2/4+(b+c)^2=(b+c)^2/4
∴(b+c)^2/4≤36,即，(b+c)^2≤144
∴0<b+c≤12 (当且仅当b=c=6,等号成立)