Question

f(x)g(x)均是定义在非零实数集上的函数，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=1/x^2-x+1

f(x)与g(x)均是定义在非零实数集上的函数，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=1/x^2-x+1 求f(x)/g(x)的取值范围

Answer 1

解：由f（x）+g（x）=1/x^2-x+1 ①，及f（x）是偶函数，g（x）是奇函数可得
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=1/x^2+x+1 ②
由①和②可得
f(x)=1/x^2+1
及g(x)=-x
则f(x)/g(x)=(1/x^2+1)/(-x)=-(1/x^2+1)/x=-(x^2+1)/x^3，于是f(x)/g(x)的取值范围是（-∞，0）∪（0，﹢∞）。

如果本题是f（x）+g（x）=1/（x^2-x+1 ），则
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=1/（x^2+x+1）
解得f(x)=(x^2+1)/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]
g(x)=x/[(x^2+x+1)(x^2-x+1)]
f(x)/g(x)=(x^2+1)/x=x+1/x，于是f(x)/g(x)的取值范围是（-∞，-2）∪（2，﹢∞）

Answer 2

f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
f(-x)=f(x) g(-x)=-g(x)
f（x）+g（x）=1/x^2-x+1 (1)
f(-x)+g(-x)=1/((-x)^2+x+1)=1/(x^2+x+1)=f(x)-g(x)
即：f(x)-g(x)=1/(x^2+x+1) (2)
[(1)+(2)]/2
f(x)=1/(2x^2-2x+2)+1/(2x^2+2x+2)
[(1)-(2)]/2
g(x)=1/(2x^2-2x+2)-1/(2x^2+2x+2)
f(x)/g(x)=[1/(2x^2-2x+2)+1/(2x^2+2x+2)]/[1/(2x^2-2x+2)-1/(2x^2+2x+2)
=[(x^2+x+1)+(x^2-x+1)]/[(x^2+x+1)-(x^2-x+1)]
=(2x^2+2)/(2x)
=x+1/x
定义域为x<>0
x>0时，f(x)/g(x)=x+1/x>=0
x<0时，f(x)/g(x)=x+1/x=-（-x-1/x)<=-2

Answer 3

f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）
g（x）是奇函数，g（-x）= -g（x）
f（x）+g（x）= 1/x^2 - x + 1…………①
则 f（-x）+ g（-x）= 1/x^2 + x + 1
即 f（x） - g（x）= 1/x^2 + x + 1……②
联立①、②得
f（x）= 1/x^2 + 1，
g（x）= x
所以，设 F(x) = f(x) / g(x) = (1/x^2 + 1) /x = 1/x^3 + 1/x
F(x)的取值范围为(-∞，0)∪(0，+∞)

Answer 4

f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
f(-x)=f(x) g(-x)=-g(x)
f（x）+g（x）=1/x^2-x+1 (1)
f(-x)+g(-x)=1/((-x)^2+x+1)=1/(x^2+x+1)=f(x)-g(x)
即：f(x)-g(x)=1/(x^2+x+1) (2)
[(1)+(2)]/2