Question

定义在非零实数集上的奇函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,且f(-1)=0

若g(x)=√2cos(x+π/4),x∈[0,2π),求使f(g(x))＞0成立的x的集合

Answer 1

∵f(x)是奇函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(-1)=0，
∴由f(g(x))>0推出g(x)<-1或0<g(x)<1，即将问题转化为求使g(x)<-1或0<g(x)<1的x的集合。
(1)g(x)=√2cos(x+π/4)<-1
=> cos(x+π/4)<-1/√2，
又∵x∈[0,2π)，∴x+π/4∈[π/4,9π/4)，
通过观察y=cosx的图像可知x+π/4∈(3π/4,5π/4)，
∴x∈(π/2,π)。
(2)0<√2cos(x+π/4)<1
=>0<cos(x+π/4)<1/√2，同(1)中，通过观察图像可知x+π/4∈(π/4,π/2)U(3π/2,7π/4),
∴x∈(0,π/4)U(5π/4,3π/2)
综上，x∈(0,π/4)U(π/2,π)U(5π/4,3π/2)。