Question

抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A,B两点（A在B的左边）,与y轴相交于点C,顶点为D

抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A,B两点（A在B的左边）,与y轴相交于点C,顶点为D
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m，则①，用含有m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②，设△BCF的面积为S，求S于m的函数关系式。

求高手解答挖。用初三的方法做。在百度上也查到了但是其中有什么斜率看不懂，所以。。。。请大家速度。

Answer 1

1、y=-(x^2-2x+1)+4=-(x-1)^2+4,
当x=1时，有极大值为4，对称轴为x=1,顶点D（1，4），
F点（m,-m^2+2m+3）,(1<m<3)
C点坐标，当x=0时，y=3,故C（0，3）,
当y=0,x=3,或x=-1，
抛物线与X轴的交点为：A（-1，0），B（3，0），
设BC方程为y=kx+b,
用待定系数法求出k ,b,
当x=0,y=3,b=3,y=0,x=3,k=-1,
∴BC方程为：y=-x+3,P点在BC上，故P纵坐标为：-m+3,
∴|PF|=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m。
2、∵PF//ED，∴只要|PF|=|ED|，则四边形PFDE就是平行四边形，
E纵坐标,y=-1+3=2,
|ED|=4-2=2,
-m^2+3m=2,
m^2-3m+2=0,
(m-2)(m-1)=0,
m=1,m=2,m>1,
故 m=2时四边形PFDE是平行四边形。
3、三角形BCF，底CF，F（m,-m^2+2m+3）,(1<m<3)
F至BC距离d=|m-m^2+2m+3-3|/√2=|-m^2+3m|/√2，
|BC|=3√2，
∴S△DCB=f*|BC|/2=（|-m^2+3m|/√2）*3√2/2=3（-m^2+3m)/2.
延长BF交Y轴于G，
设直线方程为y=kx+b,
当x=3,y=0,0=3k+b,b=-3k,
当x=m,y=-m^2+2m+3,
k=-m-1,
b=3m+3,
BF直线方程为：y=-(m+1)x+3(m+1)=(m+1)(-x+3)
BF 和Y轴交点，x=0,y=3(m+1),G(0,3m+3)
S△GOB=|OG|*|OB|/2=（9/2）（m+1),
|CG|=3m+3-3=3m,
S△GCF=|CG|*m/2=3m^2/2,
∴S△CFB=S△GOB-S△GCF=（9/2）*（m+1)-3m^2/2=（3/2）*（-m^2+3m+3).

Answer 2

（1）F点的坐标为（m,n）,PF与x轴交于Q
当x=m时，n=-m²+2m+3
三角形PQBA和三角形COB是相似三角形，得到BQ/PQ=BO/CO
当x=0时，y=3，所以C坐标为（0，3），即CO=3
当y=0时，-x²+2x+3=0，解方程得到x=3和x=-1.由于A在左边，所以A坐标（-1，0），B坐标（3，0），即BO=3
则OQ=m，由BQ/PQ=BO/CO
得到PQ=3-m
PF=n-PQ=-m²+2m+3-3+m=-m²+3m
下面求DE的长。
E点处于直线BC上，抛物线对称轴为x=1，当x=1,y=4,即D点坐标（1，4）
设直线BC方程y=tx+u：代入B、C两点，3=u,3t+u=0得到t=-1,u=3
所以直线BC方程为y=-x+3.当x=1时，y=2，即E点坐标（1，2）
从而得到DE=2
要四边形PEDF为平行四边形，则当PF=DE，即-m²+3m=2
解方程得到m=1或m=2。由于m大于1（对称轴），所以m=2。
即，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形。
（2）设经过F且与直线BC垂直的直线方程为y=x+b与直线BC交于M点。
代入F：-m²+2m+3=m+b，得到b=-m²+m+3。即过点F与BC垂直的直线方程为y=x-m²+m+3
与BC相交于M，则得x=(m²-m)/2，y=-(m²-m)/2+3。即点M（(m²-m)/2，-(m²-m)/2+3）。
FM=m√2√（m²-4m+1）
三角形面积S=BC*FM/2=3m√（m²-4m+1）

Answer 3

fsf