Question

已知对任意实数x，不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a^2恒成立，则实数a的取值范围是？

姜堰中学高一期中考试，请用高一方法解，谢谢

Answer 1

|2x-a|+|3x-2a|≥a^2
1.当x>=3a/2时，不等式变换为 2x-a+3x-2a>=a^2
x>=(a^2+3a)/5
要使得不等式恒成立，则 (a^2+3a)/5 <= 3a/2
2a^2+6a <= 15a
解得 0<=a<=9/2
2.当a/2 < x< 3a/2 时，不等式变换为 2x-a+2a-3x>=a^2
x<=a-a^2
要使得不等式恒成立，则 a/2<a-a^2<3a/2
解得 0<a<1/2
3.当x<=a/2时，不等式变换为 a-2x+2a-3x>=a^2
x<=(a^2+3a)/5
要使得不等式恒成立，则 (a^2+3a)/5<=a/2
解得 -1/2<=a<=0
综上所述 -1/2<=a<1/2