Question

拉格朗日中值定理的题

(1) e^x > ex (x>1)
(2) b - a > 1/a -1/b (b>a>1)
证明以上不等式

Answer 1

(1) e^x > ex (x>1)
证明：设f(x)=e^x ，则f(x)在区间[1，x]上连续，在区间(1，x)内可导，
由拉格朗日中值定理，存在c∈(1，x)，使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1)，即e^x -e=e^c(x -1) ，
因为c>1，所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1)，即e^x >ex。证毕。

(2) b - a > 1/a -1/b (b>a>1)
证明：设f(x)=1/x ，则f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，
由拉格朗日中值定理，存在c∈(a，b)，使f(b) - f(a)=f '(c)(b -a)，即1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)，
因为c>a>1，所以1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)<b -a。

说明，注意不等式(2)b - a >1/a -1/b中右边通分得1/a -1/b=(b - a)/ab
所以不等式(2)即 1>1/ab， 即 ab>1，显然成立。