Question

一的平方加二的平方加三的平方·····一直加到n的平方等于多少

Answer 1

一的平方加二的平方加三的平方·····一直加到n的平方
=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
全都加起来,左边中间可以抵消掉
(n+1)^3-1=3*[n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+……+2^2+1^2]+3*[n+(n-1)+……+3+2+1]+n*1
而(n+1)^3-1=(n+1-1)[(n+1)^2+(n+1)+1]
=n(n^2+3n+3)
n+(n-1)+……+3+2+1=n(n+1)/2
所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+……+2^2+1^2={[(n+1)^3-1]-3*[n+(n-1)+……+3+2+1]-n*1}/3
=[n(n^2+3n+3)-3n(n+1)/2-n]/3
=[n(n^2+3n+3-3n/2-3/2-1)]/3
=n(2n^2+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

∵(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1
∴ 1³＝1³
2³＝1³＋3×1²＋3×1＋1
3³＝2³＋3×2²＋3×2＋1
……
n³＝(n－1)³＋3(n－1)²＋3(n－1)＋1
(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1
上述各式相加得：(n＋1)³＝1³＋3×(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3×(1＋2＋3＋……＋n)＋n
∴3×(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＝ (n＋1)³－n－1－3×(1＋2＋3＋……＋n)
＝n³＋3n²＋2n－3/2×n(n＋1)＝1/2×(2n³＋3n²＋n)＝n(2n＋1)(n＋1)/2
∴1²＋2²＋3²＋……＋n²＝n(2n＋1)(n＋1)/6

Answer 4

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 这是公式

Answer 5

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6