Question

求二次函数解析式

已知一个二次函数图像的顶点坐标为（4，-2），抛物线交X轴与A、B两点，交Y轴与C点，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式。
过程具体一点。

Answer 1

依题意可设f(x)=a(x-4)^2-2=a(x^2-8x+16-2/a)
设x1, x2为f(x)=0的两根，则有：
|AB|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8^2-4(16-2/a)=8/a, 所以a需大于0.
x=0时，Y轴上的截距c=16a-2
面积=12=1/2* |16a-2|*√(8/a)
化为(8a-1)^2=72a^2
即8a^2+16a-1=0
取正根得:a=-1+3√2/4, 即得函数式。

Answer 2

根据顶点坐标（4，-2），可设解析式为 y+2=a(x-4)²
分别设A(x1,0),B(x2,0),C(0,y3)
则有 2=a(x-4)²=ax²-8ax+16a (1) y3=16a-2 (2)
x1+x2=8, x1x2=16-2/a => |AB|²=|x1-x2|²=|(x1+x2)²-4x1x2|=|64-(64-8/a)|=|8/a| => |AB|=√|8/a|
S△ABC=1/2*|AB|*y3=1/2*√|8/a|*(16a-2)=12 => |8/a|*(8a-1)²=12²
解得 1/2或1/32
∴二次函数的解析式为：y=1/2*(x-4)²-2 或 y=1/32*(x-4)²-2

希望对你有帮助

Answer 3

解：依题意得，y=a(x-4)²-2
=ax²-8ax+(16a-2)
S△ABC=1/2*｜16a-2｜*(2*4)=12
∴｜16a-2｜=3
∴16a-2=3或16a-2=-3
∴a=5/16或a=-1/16
∴二次函数的解析式是y=5/16x²-5/2x+3或y=-1/16x²-1/2x-3