Question

已知二次函数y1=x2-2x-3及一次函数y2=x+m

（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m-2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）y1=x²-2x-3 

=(x-1)²-4

当y1=x²-2x-3与x轴相交时y=0

即x²-2x-3=0：解得x1=3,x2=-1

所以顶点坐标为（1，-4）  与x轴的交点为（3，0）（-1,0） 

（2）由题意得，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图）所以新图像的解析式为y=(x-1)²-4(x≤-1或x≥3)    y=-(x-1)²+4（-1≤x≤3）

因为y2=x+m的k>0,所以它的图像从左到右是上升的，当它与新图像有3个交点时它一定过（-1，0）把（-1，0）代入y2=x+m得-1+m=0  所以m=1

（3）因为0≤x≤2  所以y=-(x-1)²+4+x+m+（m-2）x+3=-x²+(m+1)x+6+m

因为它与x轴有两个不同公共点

所以△=(m+1)²-4×（-1）×（6+m）>0     即（m+3）²+16≥0

所以m为全体实数

追问

貌似第二题m有三个-。-

Answer 2

解：﹙1﹚y1=x²-2x+1-3-1
y1=x²-2×1·x+1²-4
y1=﹙x-1﹚²-4
∵y=﹙x-h﹚+b时，顶点为﹙h,b﹚
∴顶点﹙1,-4﹚
∵当函数与x轴交点时，y=0
∴﹙x-1﹚-4=0
解方程得
x=±2+1
∴x1=1，x2=-3
﹙2﹚∵有三个不同的交点
∴一次函数与新图像的顶点相交
又∵新顶点﹙1,4﹚
﹙自己想为什么﹚
∴把x=1，y=4代入式子，得
4=1+m
解方程，得
m=3

Answer 3

（1）y1=x²-2x-3
配方法可得：y1=(x-1)²-4
当与x轴相交时y=0则x=3,x=-1
则顶点坐标为（1，-4） 与x轴的交点为（3，0）（-1,0）

追问

还有两个问题- -

Answer 4

解：（1）y1=x²-2x-3 

=(x-1)²-4

当y1=x²-2x-3与x轴相交时y=0

即x²-2x-3=0：解得x1=3,x2=-1

所以顶点坐标为（1，-4）  与x轴的交点为（3，0）（-1,0）

(2)  下图