Question

已知一次函数y1=2x和二次函数y2=x2+1

已知一次函数y1=2x,二次函数为y2=x^2+1.是否存在二次函数y3=ax^2+bx+c,其图像经过点（-5，2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1,y2,y3,都有y1≤y3≤y2成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：由y1=2x,y2=x²+1得
y2-y1=x²+1-2x=(x-1)²
即当x=1时，有y1=y2=2.
所以（1，2）点为y1和y2的交
点。
因为要满足y1≤y3≤y2恒成
立，所以y3图像必过(1,2)点。
又因为y2-y1=ax²+bx+c-2x恒
大于0，即ax²+(b-2)x+c恒大
于0，所以二次函数ax²+(b-2)x
+c必定开口向上，即有a>0且
(b-2)²-4ac≤0
同样有y2-y3=(1-a)x²-bx
+（1-c)恒大于0，有
1-a>0 且 b²-4(1-a)(1-c)≤0
又因为函数过(-5,2)和（1，
2）两点,所以有
25a-5b+c=2 (1)
a+b+c=2 (2)
（1）-（2）得 b=4a,
将b=4a代入（2）得: c=2-5a
代入(b-2)²-4ac≤0得
（4a-2)²-4a(2-5a)=16a²-16a
+4-8a+20a²
=36*a^2-24*a+4=4(3a-1)²≤0
等式成立时 a=1/3
将b=4a,c=2-5a 代入b²-4(1-a)
(1-c)≤0
(4a)²-4(1-a)(1-(2-5a))
=36*a^2-24*a+4=4(3a-1)²≤0
满足条件a=1/3
所以y3的解析式为y3=(x²+4a
+1)/3

追问

答案有误，请不要复制，用自己的话叙述

Answer 2

我认为楼上的解答是对的。