Question

一道大学微积分数学题。。求帮忙~~

Answer 1

k＞0时，连续。k＞1时可导，导数是0。
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首先，k＜0时，x^ksin(1/x)当x→0时不存在极限（如取数列xn＝1/nπ，f(xn)=0。yn=1/(2nπ+π/2)，n→∞时，yn→0，f(yn)→∞）。k=0时，x^ksin(1/x)＝sin(1/x)当x→0时同样没有极限。
其次，k＞0时，x^ksin(1/x)当x→0时是无穷小与有界函数的乘积，所以极限是0。此时，f(x)在x=0处连续。
最后，[f(0+h)-f(0)]/h＝h^(n-1)*sin(1/h)当h→0时的极限只有k-1＞0时才存在，极限是0，所以k＞1时，函数f(x)在x=0处可导，导数是0

Answer 2

因为|sin(1/x)|≤1，有界
lim(x→0)(x^k)sin(1/x)=0
所以连续,
当k=1时，lim(x→0)[xsin(1/x)-0]/(x-0)=lim(x→0)sin(1/x)不存在
故不可导，
当k≠1时，lim(x→0)[(x^k)sin(1/x)-0]/(x-0)=0,
故可导。

Answer 3

首先要搞清楚一个问题,我相信要在你的问题里面补充,y应该至少为x的函数或者隐函数,否则题目没意义;
在这样的前提下,第一项由公式有2x,第二项应该这样看,y平方是y的函数,y是x的函数,由链式法则,结果是2y*dy/dx,第三项是常数,求导自然是0

Answer 4

额 。。这个貌似很基础的么

你就把上面那个函数的左极限和右极限求一下就可以了么。。

具体原因是x^k在x趋向于0的时候极限为0 则x^k为无穷小量 而sin(1/x)为有界函数 故x^ksin(1/x)的极限为0 依据是无穷小量乘有界函数仍是无穷小量 ok

然后说下左极限等于右极限等于0 所以函数在x=0处连续就可以了

追问

x^k为无穷小量怎么判断的？？

追答

那个 只要是极限是0就是无穷小量
打个比方好了 就说函数f(x)=x好了 当x趋向于0时f(x)的极限就是0 就可以说f(x）在x趋向于0时是无穷小量 但说明一个函数是无穷小量时一定要写出x趋向于什么 了解？？