Question

s维向量a1,a2.....as线性无关，且可由向量组b1,b2...br线性表出，证明：向量组b1,b2....br的秩为s

Answer 1

证明: 因为 a1,a2.....as 可由 b1,b2...br线性表出
所以 r(a1,a2.....as ) <= r(b1,b2...br)
因为 a1,a2.....as 线性无关
所以 r(a1,a2.....as ) = s
所以 r(b1,b2...br) >= s
又因为向量组是s维向量, 所以 r(b1,b2...br) <= s
故 r(b1,b2...br) = s.

追问

所以 r(b1,b2...br) >= s　　

这个怎么所以来的啊！

追答

看证明中 第2行和第4行

追问

又因为向量组是s维向量, 所以 r(b1,b2...br) <= s　　　刚才那里错了　是这里

追答

知识点: 个数大于维数的向量组线性相关
当维数为s时, 向量组的秩不超过s

追问

我知道　可是没有说向量组b1,b2,b3.......br是Ｓ维的。

追答

s维向量a1,a2.....as线性无关，且可由向量组b1,b2...br线性表出

维数不一样, 怎么能线性表出 ?!

Answer 2

证明:
因为s维向量a1,a2.....as线性无关，所以a1,a2.....as的秩是s, 且a1,a2.....as是s维向量空间的一组基，故向量组b1,b2...br中的每一个向量都可由a1,a2.....as线性表出。又向量a1,a2.....as可由向量组b1,b2...br线性表出，所以这两个向量组是等价的，而等价的向量组有相同的秩，于是向量组b1,b2...br的秩也是s。

追问

还是没看明白　能不能说详细点啊？　　　　　故向量组b1,b2...br中的每一个向量都可由a1,a2.....as线性表出。　　　没明白

追答

a1,a2.....as是s维向量空间的一组基. 所谓基，就是能表示每一个s维向量。s维向量空间的一组基，就是s维向量空间的一个“极大线性无关组”，既然b1,b2...br都是s维向量，当然可以用s维向量空间的一个极大线性无关组来表示了.