Question

为什么在一些关于导数的定理中总是在闭区间连续在开区间可导？为什么不是开区间连续或者闭区间可导？

Answer 1

因为那些中值定理的证明都涉及到连续函数在闭区间上的性质
且可导一定连续而连续未必可导

Answer 2

可导是由极限推导出来的，之所以是开区间可导也是根据可导的极限表达式做出来的。
你可以这样想，如果在闭区间边界上可导，那么它的变化趋势怎么体现？超出闭区间的是不在定义域内的。也就是说闭区间边界上的可导是没有意义的。
同样，在闭区间上的连续也是为极限推可导服务的。不过，这里用开区间也可以，之所以是闭区间是因为这样定义的连续更明确。但是，这样定义的闭区间边界上的可导却是定义不允许的。