Question

中值定理的条件中，为什么同时要「开区间内可导」和「闭区间上连续」两个条件？

Answer 1

首先在闭区间上连续是为了使用费马引理。

其次在一点可导的一般情况，是左右导数都存在并且相等。

所以如果将在开区间可导换为在闭区间可导，则对于端点处，可导性就成了左可导和右可导，这只是可导的特例，而作为定理，我们需要描述的是一般情况，因此用开区间。

罗尔定理、微分中值定理、广义微分中值定理即，如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点。

撇开f(x)是常函数不谈，Rolle定理用到的一个非常重要的性质是闭区间连续函数存在最大最小值的性质。

而Fermat定理保证了f(x)在x0处可导，且f(x0)是一个极致，则f'(x0)等于0。

这里就要求在区间内可导，但是既然要的这个点不在端点取到，所以只要开区间可导就可以。

至于为什么闭区间连续不能改，是因为一旦改成开区间连续的话最大最小值就没了。