Question

若集合A={x|x^2+ax+b=0},B={x|x^2+cx+6=0},是否存在实数a,b,c,使A∪B=B且A∩B={2}，

若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由

Answer 1

解: 若存在,则可得
x=2是A,B的子集
将其代入x^2+cx+6=0
有 4+2c+6=0
解得 c=-5
由 x^2-5x+6=0 得(x-2)(x-3)=0 解得 x=2或x=3
即 B={2,3}
根据题目知,方程x^2+ax+b=0只有唯一的解,x=2
故由 a^2-4b=0
将x=2其代入x^2+ax+b=0中
有 4+2a+b=0
由两式联立, a=-4 b=4
故存在这样的a,b,c的值使题目成立
其值为 a=-4 b=4 c=-5

Answer 2

因为A∩B={2}，只有2在A中且在B中，
2代入B可得：2^2+2c+6=0
即：2a+b+4＝0，即 c=-5
所以B={x|x^2+cx+6=0}=B={x|x^2-5x+6=0}={2,3}
由A是B的子集及A∩B={2}可得，A是单元素集{2}
（说明：若A是单元素集{3}，那么A∩B={3}）2；若A是二元集，即A＝B，那么A∩B={2，3})
所以x^2+ax+b=0只有唯一解x=2,则：
由韦达定理可得：2+2=-a
2*2=b
解得：a=-4,b=4,
所以存在实数a=-4 b=4 c=-5,使A∪B=B且A∩B={2}，

Answer 3

2011-11-23 20:13 spite007 | 二级
A={x|x +ax+b=0} B={x|x +cx+15=0} A∪B={3,5},A∩B={所以a=-6,b=9,c=-8或a=-8,b=15,c=-8
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