Question

线性代数方程组的问题

（1）证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等
（2）在此情况下求解
谢谢~

Answer 1

解: 系数行列式 D =
1 1 1
a b c
bc ac ab

r2-ar1,r3-bcr1
1 1 1
0 b-a c-a
0 c(a-b) b(a-c)

r3+cr2
1 1 1
0 b-a c-a
0 0 (b-c)(a-c)

= (b-a)(b-c)(a-c).

因为n元线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式D≠0
所以方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等

D1 =
a+b+c 1 1
a^2+b^2+c^2 b c
3abc ca ab

c1-bc2-cr3
a 1 1
a^2 b c
abc ca ab

第1列提出a
D1 = aD
同理得
D2 = bD
D3 = cD

因为a,b,c为不相等的常数, 所以 D≠0.
所以 x=D1/D=a, y=D2/D=b, z=D3/D=c.

Answer 2

方程组写成增广矩阵形式：
1 1 1 a+b+c
a b c a²+b²+c²
bc ac ab 3abc
假如有两个相等，那么系数矩阵的秩是2，而增广矩阵的秩是3
有三个相等系数矩阵的秩是1，而增广矩阵的秩是2，系数矩阵与增广矩阵的秩不等
所以方程组无解

当a,b,c两两不等时，增广矩阵的秩是3，方程组有唯一解
为x1=a，x2=b，x3=c