Question

线性代数方程组问题

图中这题如何求解？

Answer 1

系数矩阵 A 行初等变换化为 B，实际上就是线性方程组同解变形为
x1 +x2 -3x4-x5 = 0
-2x2+2x3+2x4+x5 = 0
3x4-x5 = 0
r(A) = 3, 未知数个数 n = 5
应有 5 - 3 = 2 个自由未知量，即基础解系含有 2 个线性无关的解向量。
每个独立方程均含 x5， 则 x5 可设为自由未知量；
由第 3 个方程知， x4 = (1/3)x5, 故 x4 不能再设为自由未知量，
故再选 x3 为自由未知量。最好不用回代法，改用下法：
将自由未知量移至方程右边得
x1 +x2 -3x4 = x5
-2x2+2x4 = -2x3-x5
3x4 = x5
取 x3 = 1, x5 = 0, 得基础解系 (-1, 1, 1, 0, 0)^T,
取 x3 = 0, x5 = 6, 得基础解系 (7, 5, 0, 2, 6)^T.
则该齐次线性方程组的通解是
x = k (-1, 1, 1, 0, 0)^T+ c (7, 5, 0, 2, 6)^T
其中， k， c 为任意常数。
（此处 k 就是答案中的 k1， c 就是答案中的 k2 的2倍）

Answer 2

n = 2 时， 方程组化为 -x1 + x2 = 0， 基础解系 (1, 1)^T, 通解 x = k(1, 1)^T。
n ≥ 3 时，将 A 的第 2, 3，... , n 行均加到第 1 行， 然后第 1 行除以 n-2, 再将第 1 行 -1 倍加到第 2, 3，... , n 行， 得 r(A) = n , 方程组只有 零解。

Answer 3

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