Question

已知A表示点,a、b、c表示直线,;;α、β表示平面,给出下列命题

①a⊥α，b￠α , 若b∥α , 则b⊥α;
②a⊥α , 若a⊥β , 则α∥β;
③a在平面α，b交α=A ,c为b在α上的射影，若a⊥c，则 a⊥b;
④a⊥α , 若b∥α , c∥α , 则a⊥b , c⊥b.
其中逆命题正确的是（ ）.
A.①④ B.③④
C.①②③ D.①②③④

Answer 1

在这里，个人作一个简单的解释，由于①a⊥α，b￠α , 若b∥α , 则b⊥α; 这个选项明显有问题既然b∥α , 就不可能b⊥α; ，期中肯定有个是直线a,这里我不做详细假设来确定答案（二楼已经做出了一种假设），但是仍然可以从四个选项中选择一个答案：C，使用排除法。其中一楼和三楼都给出了答案C，但是一楼没有给出原因，而三楼的解释是正确的，但是答案碰上是对的原因是三楼给出了分析，但是没注意题目要求是“逆命题正确的是”，所以答案不规范，也许一楼也是这个原因。
下面个人用排除法回答：首先①选项有问题，因此我才选择排除法，要不可以正面回答；
②a⊥α , 若a⊥β , 则α∥β;逆命题是：a⊥α , 若α∥β , 则a⊥β;显然，不管α、β是否重合都有a⊥β，因此正确。
③a在平面α，b交α=A ,c为b在α上的射影，若a⊥b，则 a⊥c;同射影定理一样的道理，是正确的。
④a⊥α , 若a⊥b , c⊥b , 则 b∥α , c∥α. 首先若b属于面α ，则b∥α不成立，否则也是成立的，其次 c∥α也了，因为可能c同样可以在平面α内c⊥b，另外c可以是垂直直线b的平面内的任意一条直线，这样任意一条直线c都有可能不平行平面α.
因此②③正确，④错误，根据排除法，应该选择C
其实对于①a⊥α，b￠α , 若b∥α , 则b⊥α; ，不管是b∥a , 则b⊥α,还是b∥α , 则b⊥a,逆命题和原命题都是正确的，其实更具条件b￠α ，可以猜出题者的意图是b∥a , 则b⊥α。，因为提出了b￠α。因为题设b∥α就已经说明b￠α这个条件件了。这就是二楼的提出的问题。

Answer 2

①a⊥α，b￠α , 若b∥α , 则b⊥α; 对
②a⊥α , 若a⊥β , 则α∥β; 对
③a在平面α，b交α=A ,c为b在α上的射影，若a⊥c，则 a⊥b; （ 摄影定理）
④a⊥α , 若b∥α , c∥α , 则a⊥b , c⊥b.
错 c b 可能平行 异面 相交
C.①②③ 对

Answer 3

①a⊥α，b￠α , 若b∥α , 则b⊥α;
这个有问题，应该是若b//a吧？

Answer 4

C.①②③