Question

椭圆的一个顶点为A(0,-1)焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3

(1)求椭圆方程
（2）设直线l：y=x+m,是否存在实数m使直线l与①中的椭圆有两个不同的交点M,N，使AM=AN?说明理由
重点是第二小题！！！！急！！

Answer 1

(1)椭圆方程是x^2/3+y^2=1
(2)不存在
假设存在m0，使直线l与①中的椭圆有两个不同的交点M,N，使AM=AN。
设M(x1,y1) N(x2,y2)。联立y=x+m0与x^2/3+y^2=1得2x^2+2m0x+m0^2-3=0
x1+x2=-m y1+y2=x1+x2+2m=m y1-y2=x1-x2
AM=AN AM^2=AN^2 x1^2+(y1+1)^2=x1^2+(y2+1)^2
x1^2-x2^2+y1^2-y2^2+2(y1-y2)=0 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+2(y1-y2)=0
(y1-y2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+2(y1-y2)=0 (y1-y2)(x1+x2+y1+y2+2)=0
2(y1-y2)=0 y1=y2，M、N两点重合，与题意矛盾。

追问

可我算出来x1+x2=(-3/2)m

追答

对不起，我计算错误，下面更正：
(2)不存在
假设存在m0，使直线l与①中的椭圆有两个不同的交点M,N，使AM=AN。
设M(x1,y1) N(x2,y2)。联立y=x+m0与x^2/3+y^2=1得4x^2+6m0x+3m0^2-3=0
判别式>0 m0^2<4
x1+x2=-(3/2)m0 y1+y2=x1+x2+2m=(1/2)m y1-y2=x1-x2
AM=AN AM^2=AN^2 x1^2+(y1+1)^2=x1^2+(y2+1)^2
x1^2-x2^2+y1^2-y2^2+2(y1-y2)=0 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+2(y1-y2)=0
(y1-y2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+2(y1-y2)=0 (y1-y2)(x1+x2+y1+y2+2)=0
(y1-y2)(2-m0)=0 m0=2，不符合m0^2<4。

Answer 2

(1)假设右焦点B（n,0）作垂直于已知直线的直线L交与点C（x,x+2√2）两点距离可以得到一个公式，又因为L与原来的直线垂直，所以斜率为-1，可以可以得到n了、
(2）可以假设有，那么就必须满足点间距相等，已经在直线上和椭圆上。解下方程就可以了

Answer 3

有。

追问

我算的p(-3m/4,m/4)

追答

哦，应该是不存在

系数公式忘除2了

应该p(-3m/4,m/4)

代入求解m=2，和求出的约束m²＜4相矛盾

故不存在