Question

高一几何题！要详细答案！急！

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面的对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F，求证EF∥平面ABCD

Answer 1

首先EF不在平面ABCD中
分别过点E F做 EM FN垂直于 AB BC
则四边形EFNM为矩形。（有垂直有相等，自己证吧）
这样就有EF平行于MN
根据线面平行定理 不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个面平行
可以得到EF∥平面ABCD

Answer 2

法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC．
∴EM∥BB1，FN∥BB1．∴EM∥FN．
又B1E=C1F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则 B1EB1A= B1GB1B．
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴ C1FC1B= B1GB1B．
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD．

追问

又B1E=C1F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．

EM=FN和B1E=C1F相等有什么关系

追答

证法一：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可．
证法二：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．

追问

这些我知道，但是EM=FN为什么就B1E=C1F呢

追答

题目有B1E=C1F

∴EM∥BB1，FN∥BB1．∴EM∥FN．
又B1E=C1F，∴EM=FN．