Question

（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6

，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
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Answer 1

解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=12AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=12BE=1，EG=22-12=
3
即点E到BC的距离为3

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为平行四边形，
∴EP=GM，PM=EG=3
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，
∴∠PMH=∠PMC-∠NMC=30°．
∴PH=12PM=32
∴MH=PM•cos30°=32
则NH=MN-MH=4-32=
52
在Rt△PNH中，PN=NH2+PH2=
(
52)2+(
32)2=
7
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=3+
7+4

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，PM=3，∠PMR=30°，
MR=PMcos30°=3×32=32，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，
∵EG=3，
∴MP=MN=3，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP=3（如图4），
此时，x=EP=GM=6-1-3=5-
3，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5-3）时，△PMN为等腰三角形．
根号打不出来

Answer 2

证明：（1）∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M为AD的中点，
∴AM=DM．
∴△ABM≌△DCM．
∴BM=CM．

∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
∴EN= 1/2MC，FN= 1/2MB，ME= 1/2MB，MF= 1/2MC．
∴EN=FN=FM=EM．
∴四边形ENFM是菱形．

解：（2）结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC．
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD．
∴MN是梯形ABCD的高

又∵四边形MENF是正方形，
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点，
∴MN= 1/2BC．