Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1的中点。 （1）求异面直线A1M和AB所成的角的大小

（2）求异面直线A1M和CD1所成的角的大小

Answer 1

设AB= a.
(1) 由于:AB//A1B1 故A1B1与A1M的夹角即为AB与A1M的夹角.
现在求角MA1B1
连接MB1.
由于A1B1垂直于平面BCC1B1,故A1B1垂直于直线MB1.即三角形MA1B1为直角三角形.
,求得MB1=a*根号(5/4), 故tan(角MA1B1)=MB1/A1B1=(根号5)/2
(角MA1B1)=arctan[(根号5)/2]
即:A1M和AB所成的角为:arctan[(根号5)/2]

(2)同理,连接A1B,容易证明A1B//D1C. 故A1B与A1M的夹角即为D1C与A1M的夹角.
现在求角BA1M
连接MB,
,求得A1B=a*根号2, MB=a*根号(5/4), A1M=a*根号(2+1/4)=a*(3/2)
在三角形MA1B中用余弦定理,得cos(角BA1M)= [2+9/4 -5/4]/[2*(根号2)*3/2)]=1/根号2.
知角BA1M= 45度.
A1M和CD1所成的角的大小为:45度.

Answer 2

1....取 D1D中点N 连接MN 则MN平行AB 异面直线A1M和AB所成的角的大小等于 角A1MN
三角形A1MN是直角三角形 设正方体棱长为a 那么 MN=2a A1M=根号下（4a²+4a²+a²）=3a
所以 cos 角A1MN=2/3
异面直线A1M和AB所成的角的大小为 arccos(2/3)
2... 取C1D1 中点O 连接 MO OA1 MO=根号2 a OA1=根号5 a
那么cos(异面直线A1M和CD1所成的角)=(A1M²+MO²-OA1²)/（2A1M*MO）=1/(根号2)
异面直线A1M和CD1所成的角 为 45 °