Question

高等代数题 16 两个等价的向量组，一定包含相同个数的向量。 A. 错误 B. 正确

17 在矩阵的初等变换下行列式的值不变
A. 错误
B. 正确
18 对于任意矩阵，它的行空间的维数等于列空间的维数
A. 错误
B. 正确
19 设V是一个n维向量空间，W是V的一个子空间，则dimW≤n
A. 错误
B. 正确
20 实对称矩阵的特征根一定是实数。
A. 错误
B. 正确
21 若n阶矩阵A存在一个r阶子式不为零则A的秩必然大于等于r
A. 错误
B. 正确
22 有理数域是最小的数域
A. 错误
B. 正确
23. x^2-2在有理数域上不可约
A. 错误
B. 正确
24 若排列abcd为奇排列，则排列badc为偶排列．
A. 错误
B. 正确
25 二次型为正定的充要条件是秩和符号差都为n
A. 错误
B. 正确
26 合同的两个矩阵的秩不一定相等。
A. 错误
B. 正确
27 四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4
A. 错误
B. 正确
28 若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量
A. 错误
B. 正确
满分：2 分
29 若x∈A∪B,则x∈A且x∈B
A. 错误
B. 正确
30 双射既是单射也是满射
A. 错误
B. 正确
31. n阶矩阵A的行列式等于A的全部特征根的乘积
A. 错误
B. 正确
32 设A为n阶正交矩阵，则A的实特征值是1或-1.
A. 错误
B. 正确
33 初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组
A. 错误
B. 正确
34. n阶实称矩阵属于不同特征根的特征向量彼此正交
A. 错误
B. 正确
35 零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)
A. 错误
B. 正确

Answer 1

17、错，显然矩阵与常数相乘会改变行列式；
18、对，行秩与列秩相等；
19、对
20、对
21、对
22、我不确定，不知你们的数域定义是否只局限于普通的四则运算，如果是，那这个是对的，如果可以引入其它运算来代替加减乘除，那就是错的。
23、对
24、错，这两个序列可通过两次交换得到，奇偶性相同
25、我不确定，不知符号差的定义，如果符号差是正号个数减负号个数，那个这个对，如果符号差是正号与负号个数差的绝对值，那么这个错；
26、错
27、错，若所有无素相等，则秩为1；
28、对
29、错，“且”改为“或”
30、对
31、对
32、对
33、错，应改为初等行变换
34、对
35、错，f(x)不一定是多项式

追问

36 n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，则A是对角阵
A. 错误
B. 正确
37 交换行列式的两列，行列式的值不变
A. 错误
B. 正确
38 两个矩阵A与B，若A*B=0则一定有A=0或者B=0
A. 错误
B. 正确
39 n阶方阵A，有|kA|=k|A|，k为一正整数
A. 错误
B. 正确
40 (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基
A. 错误
B. 正确
41 相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事
A. 错误
B. 正确

追答

36、对，与一切方阵可交换的矩阵只能是aE，其中E是单位阵
37、错，交换两列，行列式改变符号
38、错，例如A，B均为二阶矩阵，且A中元素全为1，B中元素第一行全为1，第二行全为-1，此时有AB=0
39、错，|kA|=k^n*|A|
40、错，第一个向量减第二个向量正好等于第三个向量，因此三向量线性相关，不是基，三维空间的基必须是三个线性无关的向量
41、错，二者不是一回事，相似是寻找P，使 P逆AP 为对角阵，合同是寻找P，使 P转置AP 为对角阵