Question

初三下数学圆问题、在线等、求教、急。

如图:过圆O内一点P,作弦AB、CD,且AB=CD,在弧BD上取两点E、F,且弧BE=弧DF,求证:直线PO是EF的垂直平分线。

Answer 1

因为AB与CD是圆的两条相交弦，所以有AP*PB=CP*PD,由于PB=AB-AP,CP=CD-PD;所以有AP*(AB-AP)=(CD-PD)*PD,又AB=CD,则可写为AP*(AB-AP)=(AB-PD)*PD,化解可得AB=AP+PD,而AB=AP+PB,所以可得PB=PD,在三角形POB与三角形POD中由于PO=PO,OB=OD,PB=PD,所以两三角形全等，则角POB=角POD，设PO与圆的上半部分交点为G,PO与圆的下半部分交点为H,所以可得弧BCG=弧DAG,由于PO过圆心，所以PO为直径，即弧GCBEH=弧GADFH,又因为弧BE=弧DF，所以可得弧EH=弧FH,由于PO为直径，所以由垂径定理的推论可得直线PO是EF的垂直平分线