Question

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

Answer 1

1. 连接 DE 得∠DBA=∠COA（角BDA=∠OFA）
所以∠CAO=∠BDA=90°
2,。根据勾股定律 BD=12
由于△ADB与△CAO相似 所以 BD/AO=AD/AC 得AC=40/3

Answer 2

（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，
∴∠BAD=∠C．（1分）
∵OC⊥AD于点F，
∴∠BAD+∠AOC=90°．（2分）
∴∠C+∠AOC=90°．
∴∠OAC=90°．
∴OA⊥AC．
∴AC是⊙O的切线．（4分）
（2）解：∵OC⊥AD于点F，
∴AF=1 2 AD=8．（5分）
在Rt△OAF中，OF= OA2-AF2 =6，（6分）
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C，
∴△OAF∽△OCA．（7分）
∴OA OC =OF OA ．
即OC=OA2 OF =100 6 =50 3 ．（8分）
在Rt△OAC中，AC= OC2-OA2 =40 3 ．（10分）
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Answer 3

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