Question

已知椭圆x^2/16+y^2/9=1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若P，F1,F2是一个直角三角形的三个顶点。

则点P到x轴的距离为____________

Answer 1

椭圆中，a=4，b=3，c²=16-9=7，设P(x，y)，则点P到x轴的距离为|y|。
分两种情况。
(1)若P是直角顶点，则　PF1⊥PF2，|PF1|²+|PF2|²=4c²
4a²=(|PF1|+|PF2|)²=|PF1|²+|PF2|²+2|PF1|•|PF2|=4c²+2|PF1|•|PF2|
即 64=28+2|PF1|•|PF2|
|PF1|•|PF2|=18
设⊿PF1F2的面积为S，则2S=|PF1|•|PF2|=|F1F2|•|y|
所以|y|=9√7/7
由于|y|²=81/7>9，|y|>3，不合题意，舍去。
(2)若一焦点（如F2)是直角顶点，则　PF2⊥F1F2，|PF1|²-|PF2|²=4c²
(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)=4c²
8(|PF1|-|PF2|)=28，|PF1|-|PF2|=7/2
又|PF1|+|PF2|=8
所以|PF2|=9/4，即|y|=9/4
点P到x轴的距离为9/4

Answer 2

a=4,b=3,c=√7，第一种情况，两焦点连线段F1F2为直角边，则P点横坐标为±√7，代入方程得，纵坐标为±9/4，则P到x 轴距离为9/4
第二种情况，两焦点连线F1F2为斜边，由焦点弦公式：P到两个焦点的线段，即直角三角形的两个直角边长度为(4+√7/4·x)，(4-√7/4·x)，与2√7构成勾股数，计算得知无解。
或者连接短轴一顶点和两焦点构成三角形，发现是锐角三角形，说明P点在其他位置时也不可能构成以两焦点间线段为斜边的直角三角形。
即P只有4个位置（√7，9/4）（√7，-9/4）（-√7，9/4）（-√7，-9/4）
x 轴距离均为9/4