Question

已知函数f(x）=(x^2+2x+a）/x，x属于1到正无穷。当a=0.5时，求函数的最小值

Answer 1

f(x)=x+2+0.5/x
这个是对勾函数
勾底横坐标为 x=√2/2
所以 f(x)在（1，+∞）上是增函数
x=1时，f(x)有最小值f(1)=1+2+0.5=3.5

Answer 2

f(x）=(x^2+2x+a）/x=x+a/x+2当a=0.5时,f(x）=x+1/2x+2 在定义域1到正无穷上任取x1,x2使得x1<x2则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1-x2)(1-1/x1x2)考虑1《x1<x2则1/x1x2<1,从而1-1/x1x2>0 并且x1-x2<0故此f(x1)-f(x2)<0所以f(x)在定义域上单调递增故最小值为f(1)=3.5 注，这道题看来是考最值问题，事实上涉及更多的是单调性的判别和常用函数x+a/x在根号a处取最小值的问题

Answer 3

去任意实数x1,x2属于x>=1,设x1<x2，则：
f(x1)-f(x2)=(x1^2+2x1+a)/x1-(x2^2+2x2+a)/x2)=(x1x2-a)(x1-x2)/x1x2
以为1<=x1<x2 a>=1/2
所以f(x1)<f(x2)
所以f(x)单调递增
当x=1，a=1/2是，f(x)min=7/2