Question

函数F（x)=cos平方X+sinX在X属于[2/5π，3/4π]上的最大值是 ？

请写详细些 答案为 1+根号2/2

Answer 1

解：
f(x)=cos²x+sinx
=1-sin²x+sinx
=-(sinx-1/2)²+5/4
若sinx=1/2，即x=π/6+2kπ或者x=5π/6+2kπ，必定是最大值
∵[2π/5,3π/4]可分为[2π/5,π/2)∪[π/2,3π/4]
∵5π/6>3π/4，π/6<2π/5，且5π/6-3π/4<2π/5-π/6
故最大值在x=5π/6处
∴最大值为：
f(3π/4)=-[sin(3π/4)-1/2]²+5/4
=-[sin(π/4+π/2)-1/2]²+5/4
=-[cos(π/4)-1/2]²+5/4
=-[√2/2-1/2]²+5/4
=-(1/2+1/4-√2/2)+5/4
=-3/4+√2/2+5/4
=1/2+√2/2

追问

能把sinX设为T吗 我这样看不懂 为什么要带3/4π

追答

解：
f(x)=cos²x+sinx
=1-sin²x+sinx
=-(sinx-1/2)²+5/4
设T=sinx
则f(x)=-(T-1/2)²+5/4
即f(x)转化为二次函数，对称轴为T=1/2
当T的值越接近1/2，f(x)的值越大。
∵[2π/5,3π/4]可分为[2π/5,π/2)∪[π/2,3π/4]
①在区间[2π/5,π/2)上，y=sinx是增函数
∵π/6sin(π/6)=1/2，即sin(2π/5)>1/2
②在区间[π/2,3π/4]上，y=sinx是减函数
∵3π/4sin(5π/6)=1/2，即sin(3π/4)>1/2
综合①②所述，T>1/2，故寻找T最接近1/2的值
∵5π/6-3π/4<2π/5-π/6
∴sin(3π/4)比sin(2π/5)更接近1/2
∴最大值为：
f(3π/4)=-[sin(3π/4)-1/2]²+5/4
=-[sin(π/4+π/2)-1/2]²+5/4
=-[cos(π/4)-1/2]²+5/4
=-[√2/2-1/2]²+5/4
=-(1/2+1/4-√2/2)+5/4
=-3/4+√2/2+5/4
=1/2+√2/2
如果哪里还不明白，可以继续问我，或者在hi里问我

追问

π/6怎么 来的

追答

sinx=1/2,则x=π/6+2kπ或者x=5π/6+2kπ

追问

我不懂为什么sin(3π/4)更接近2/1 3π/4=0.75 2π/5=0.4 π/2 =0.5 不是2π/5更接近吗?

追答

不是3/4接近0.5，也不是3π/4接近0.5，而是sin(3π/4)接近0.5
也就是说，我们要比较的是sin(3π/4)和sin(2π/5)谁接近0.5
而0.5=sin(π/6)=sin(5π/6)
也就是说，我们要判断2π/5接近π/6还是3π/4接近5π/6
所以才有5π/6-3π/4<2π/5-π/6这个式子，这个式子就是判断谁更接近
经过判断，5π/6-3π/4的数值比较小，也就是说，sin(3π/4)更接近sin(5π/6)
而sin(5π/6)=0.5，换句话说，就是sin(3π/4)更接近0.5

Answer 2

x=3/4π,y有最大值0.5+√2／2