Question

平面几何竞赛题

设P为△ABC内的一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，O为异于P的任意一点，求证：OA+OB+OC＞PA+PB+PC

Answer 1

这道题用到了楼上所说的【费尔马点】

证明：

过△ABC的顶点A、B、C分别作PA⊥AM，PC⊥CN，PB⊥BQ，三垂线分别交于M、N、Q三点

在四边形QAPB中，∠QAP＝∠QBP＝90°，∠APB＝120°

∴∠AQB＝60°

同理，∠AMC＝∠CNB＝60°

∴△QMN为等边三角形

设其边长为a，高为h，并设O到△MNQ三边的距离分别为ha，hb，hc

∵S△QMN＝S△OQN＋S△OQM＋S△OMN

∴1/2ah＝1/2a•ha＋1/2a•hb＋1/2a•hc＝1/2a(ha＋hb＋hc)

∴h＝ha＋hb＋hc

即△QMN内任意一点O到△QMN三边的距离之和等于等边三角形的高，是一个定值

∴PA＋PB＋PC＝h

连接直线外一点与直线上一点的线段中，垂线段最短

∴OA＋OB＋OC大于O到△QMN三边的距离和

即OA＋OB＋OC＞h

∴OA＋OB＋OC＞PA＋PB＋PC

【说明】平面上到△ABC三个顶点距离和最小的点是P点，点P叫费尔马点

Answer 2

这个是费马点问题
这个可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/333339214.html?an=0&si=1

追问

具体证明啊。。。

追答

http://baike.baidu.com/view/184329.html?wtp=tt
百科里有证明的