Question

高一数学，急！！！！

函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n)，且当x>0时有f（x）>0
1.求证：f(x)在（-∞，+∞）上为增函数
2.若f（1）=1，解不等式f[log2（x^2-x-2）]<2

Answer 1

（1）令m=n=0，则f(0)=2f(0),所以f(0)=0
令m=－n，则f(0)=f(n)+f(-n)，即f(-n)=-f(n),
所以函数f(x)是R上的奇函数。
不妨设m>n,则m-n>0,
所以f(m)-f(n)=f(m)+f(-n)=f(m-n)>0,
所以f(x)在（-∞，+∞）上为增函数。
（2）由f（1）=1可得f(2)=2f(1)=2
所以f[log2（x^2-x-2）]<2可化为f[log2（x^2-x-2）]<f(2)
由f(x)在（-∞，+∞）上为增函数可得log2（x^2-x-2）<2
则0<x^2-x-2<4,解得2<x<3
所以不等式的解集为（2，3）

Answer 2

解：1、设x1、x2在（-∞，+∞）上，且x1>x2,若x1-x2=a,则a>0
由于函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n），
则f(x1)=f(x2)+f(a），
f(x1)-f(x2)=f(a)>0
所以f(x)在（-∞，+∞）上为增函数。
2、f[log2（x^2-x-2）]<2
2-f[log2（x^2-x-2）]>0
2f（1）-f[log2（x^2-x-2）]>0
f[2-log2（x^2-x-2）]>0 (当x>0时有f（x）>0)
2-log2（x^2-x-2）>0
log2[4/（x^2-x-2）]>0
4/（x^2-x-2）>1
x^2-x-6<0
-2<x<3

Answer 3

f(m+n)=f(m)+f(n)
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0) 所以f(0)=0
当x>0 2x>x
f(x)>0 f(2x)=2f(x)>0
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以函数f(x)是奇函数 所以当x<0 f(x)<0
当x<0 2x<x
f(2x)=2f(x)<0
f(2x)<f(x)
2 f(2)=f(1)+f(1)=2
f[log2 (x²-x-2)<f(2)
log2 (x²-x-2)<2
0<x²-x-2<4
x²-x-2>0
(x-2)(x+1)>0 x>2或x<-1
x²-x-2<4
(x-3)(x+2)<0 -2<x<3
所以综合起来 为-2<x<-1 或 2<x<3

Answer 4

1.证明：令m=﹣n，则f（0）=f（n）+f（﹣n），又令m=n=0，有f（0）=2f（0)m，则f（0）=0，所以f（n）=﹣f（﹣n）。
设x1，x2∈R，且x1＜x2有x2-x1﹥0，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+[﹣f（x1）]=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2-x1）＞0，所以f（x)在R上为增函数。
2.令m=n=1，则f（2）=2f（1）=2，所以原不等式为f[log2(x^2-x-2)]<f(2),因为函数为增函数，则log2(x^2-x-2)＜2，即log2(x^2-x-2)＜log2(4),所以x^2-x-2＜2，解得2＜x＜3

Answer 5

f(g（x）)=4x - 20x + 25 =（2x-5) f（x）=x 所以g（x）=2x-5或者g（x）=5-2x 一次项系数大于零所以g（x）=2x-5 f(g（x