Question

求过点A(2,4)向圆x²+y²=4所引的切线方程 求详解

Answer 1

圆x²+y²=4的圆心为O(0,0),半径r=2
显然x=2是一条切线
设过点A(2,4)向圆x²+y²=4所引的切线方程为
y=k(x-2)+4
kx-y+4-2k=0
圆心到切线的距离应该等于圆的半径
|k*0+0+4-2k|/sqrt(k^2+1)=2
|4-2k|=2*sqrt(k^2+1)
(4-2k)^2=4(k^2+1)
16-16k+4k^2=4k^2+4
16k=20
k=5/4
所以切线方程为
y=(5/4)(x-2)+4
即5x-4y+6=0
故切线方程为
x=2 ,5x-4y+6=0

Answer 2

作图可知x=2显然是的。。。

设另一个切点为B（a,b）
所以OB垂直于AB
所以直线AB的斜率为-a/b

AB方程为(y-4)/(x-2)=-a/b
因为AB过B所以
(b-4)/(a-2)=-a/b
整理得a^2-2a+b^2-4b=0

因为B在圆上所以a^2+b^2=4 带入上面的式子得：

a=2-2b
a^2=4（b-1)^2
所以带入圆方程解得
b=8/5
(根据图像显然b=0舍去)
a=-6/5

切线过AB则
(y-4)/(x-2)=3/4

即y=0.75x+2.5