Question

如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和三角...

如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和三角形BCE,CA=CD,CB=CE,角ACD与角BCE都是锐角，且角ACD=角BCE,连接AE交CD于点M.连接BD交CE于N，AE与BD交于点P,连接CP.
(1)请你判断三角形ACM与三角形DPM的形状有何关系并说明理由;
(2)求证：角APC＝角BPC

Answer 1

AC=DC,CE=CB
∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∠CAM=∠CDP
∠DMP=∠AMC
∴△ACM∽△DPM
2.∵△ACE≌△DCB
∴点C到AE、DB的距离相等
∴CP平分∠APB
即∠APC=∠BPC

Answer 2

(1)证明:∵∠ACD=∠BCE.
∴∠ACE=∠DCB;又AC=CD,CE=CB.
∴⊿ACE≌⊿DCB,∠CAE=∠CDB;又∠AMC=∠DMP.
∴⊿ACM∽⊿DPM.
(2)证明:∵ ⊿ACE≌⊿DCB.
∴点C到AE和DB距离相等.(对应边上的高相等)
∴∠APC=∠BPC.

Answer 3

∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
又∠AMC=∠DMP，
∴△ACM∽△DPM
ADPC共圆∠ADC=∠APC．
∠BEC=∠BPC．
∴∠ADC= （180°-∠ACD），
∠BEC= （180°-∠BCE）．
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠APC=∠BPC．