Question

已知F1，F2是椭圆x²/100+y²/64=1的两个焦点，p是椭圆上任意一点。

第一问：若∠F1PF2=π/3，求△F1PF2的面积；第二问求PF1×PF2的最大值。

Answer 1

1、a=10,b=8,c=6,
焦点坐标F1（-6,0),(6,0),
|F1F2|=12,
根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=20,
向量F1F2=PF2-PF1,
两边平方，
F1F2^2=PF2^2-2PF2·PF1+PF1^2,
|F1F2|^2=(|PF1+PF2|)^2-2|PF2|·|PF1|-2|PF2|·|PF1|cos60°，
144=20^2-3|PF1||PF2|，
|PF1||PF2|=256/3,
S△F1PF2=|PF1||PF2|sin60°/2=256/3*√3/2/2=64√3/3，
2、设|PF1|=x,
|PF1|*|PF2|=x(20-x)=-(x^2-20x+100)+100=-(x-10)^2+100,
当x=10时，有最大值为100，即|PF1|=|PF2，
∴|PF1|*|PF2|的最大值为100。

Answer 2

a=10，b=8，c=6
(1)由余弦定理，|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|•|PF2|cos(π/3),得
|PF1|²+|PF2|²-|PF1|•|PF2|=144
(|PF1|+|PF2|)²-3|PF1|•|PF2|=144
400-3|PF1|•|PF2|=144，|PF1|•|PF2|=256/3
△F1PF2的面积=(1/2)|PF1|•|PF2|sin(π/3)=64√3/3
(2)|PF1|×|PF2|≤[(|PF1|+|PF2|)/2]²=100，最大值为100

Answer 3

余弦定理：lF1Pl^2+lPF2l^2-2lF1PllPF2lcos∠F1PF2=lF1F2l^2=144
lF1Pl^2+lPF2l^2-lF1PllPF2l=144
因为 lF1Pl+lPF2l=20, 则（lF1Pl+lPF2l）^2=400,结合上式得lF1PllPF2l=256/3
s=1/2lF1PllPF2lsin∠F1PF2=64√3/3

设|PF1|=x, |PF1|*|PF2|=x(20-x)=-(x^2-20x+100)+100=-(x-10)^2+100,
当x=10时，最大值为100，即|PF1|=|PF2l，

Answer 4

（1）根据已知条件可以得到：a=10，b=8，c=6
所以，由余弦定理可得：
|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|•|PF2|cos(π/3),
|PF1|²+|PF2|²-|PF1|•|PF2|=144
(|PF1|+|PF2|)²-3|PF1|•|PF2|=144
400-3|PF1|•|PF2|=144，|PF1|•|PF2|=256/3
△F1PF2的面积=(1/2)|PF1|•|PF2|sin(π/3)=64√3/3
(2)|PF1|×|PF2|≤[(|PF1|+|PF2|)/2]²=100，最大值为100

Answer 5

1,：在△F1PF2中，F1P+PF2=20，设F1P=m
用余弦定理：
m*（20-m）=m^2+(20-m)^2-12^2
可解m
求d得F1P*PF2=3072/36=256/3
△F1PF2的面积=1/2*sin∠F1PF2*F1P*PF2=1/2*根号2*256/3=根号3*64/3

2：PF1×PF2=m*（20-m）=100-（m-10）^2
当m=10时，PF1×PF2最大=100