Question

已知函数f（x）=a^x+ka^(-x),其中a大于0且a不等于1，k为常数，若f（x）在R上既是奇函数，又是减函数

已知函数f（x）=a^x+ka^(-x),其中a大于0且a不等于1，k为常数，若f（x）在R上既是奇函数，又是减函数，则a+k的取值范围是？

Answer 1

奇函数，则 f(-x)=a^(-x)+ka^x=-a^x-ka^(-x)=-f(x) (1)
减函数，则 f'(x)=lna*(a^x-ka^(-x))<0 (2)
由(1)可得，a^x+a^(-x)=0 => a^x=-a^(-x)
代入(2)，得 f'(x)=lna*(a^x+ka^x)=(k+1)lna*a^x<0
若0<a<1，则lna<0，∴k+1>0，k>-1，a+k的取值范围是：(-1,+∞)
若a>1，则lna>0，∴k+1<0，k<-1，a+k的取值范围是：(-∞,+∞)

Answer 2

我怀疑题目错误，既然是R上奇函数，那么f(0)=0，代入显然矛盾。