Question

已知P(m，a)是抛物线y＝ax²上的点，且点P在第一象限。

已知P(m，a)是抛物线y＝ax²上的点，且点P在第一象限。 直线y＝kx＋b过点P，交x轴的正半轴于点A，叫抛物线与另一点M 当b=4时，记三角形MOA的面积为S，求1/S的最大值

Answer 1

由p(m,a)是y=ax∧2上的点得a=am∧2 , ∧表示乘方符号。 所以m∧2=1。 由p在第一象限得m>0,a>o。 故m=1。 (2) 1.假设当b=2a时,角OPA为90度成立。 由直线y=kx+b过点p(1,a),b=2a可将 直线方程化为y=-ax+2a。 当y=0时,a=2, 所以点A为(2,0)。 由角OPA为90度可知直线OP垂直于直线PA， 所以直线OP与直线PA的斜率之积应为-1。 所以Kop*Kpa=-1即a*(-a)=-1。 解得a=1。 综上,当a=1,b=2时,角OPA为90度成立。 当a>0且a不等于1时, 角OPA为90度不成立。 2. 将b=4代入得直线方程为y=kx+4。 直线y=kx+4过点p(1,a)得k+4=a。 直线进一步化为y=(a-4)x+4。 将此直线方程与抛物线方程y=ax∧2联立。 得ax∧2-(a-4)x-4=0。 设M点坐标为(x,y)， 由直线与抛物线交于M与A两点可得x+1=(a-4)/a。 X=-4/a , 代入抛物线得y=16/a。 A点坐标为(4/(4-a),0)。 S=1/2*｜y｜*｜OA｜ =1/2*(16/a)*(4/(4-a)) =32/(-a∧2+4a) 1/S=(-a∧2+4a)/32 当a=2时,1/S取得最大值,最大值为1/8。

Answer 2

P(m，a)代入抛物线y=ax^2，m=±1
∵P点在第一象限
∴m=1
P(1，a)点代入直线：y=kx+4，则a=k+4（a≠0，则k≠-4）
直线： y=x+4与x正轴交点A的坐标为：(-4/k，0)(能与抛物线有2交点，则k≠0，且k<0)
y= ax^2 与直线y=kx+4的交点，则建立以下方程：
(k+4) x^2=kx+4 即(x-1)[(k+4)x+4]=0
则M点的坐标为：(-4/(k+4)，16/(k+4))（16/(k+4)>0）
S=1/2×16/(k+4)×(-4/k)=(-32)/(k+4)k
1/S=(-(k+4)k)/32=(-〖(k+2)〗^2+4)/32 1/S 的最大值为1/8，k=-2