Question

一道高中数学题（详细过程)

1、设二次函数f（x）=x²+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1.
（1）求实数a的取值范围；
（2）是比较f（0）f（1）-f（0）与1/16的大小。

Answer 1

（1）求实数a的取值范围
"f（x）-x=0"得:x²+ax+a-x=0,化简得:x^2+(a-1)x+a=0
x1+x2=1-a, x1x2=a
"x1和x2满足0＜x1＜x2＜1",得:.0<x1+x2<2
0<x1x2<1
把a代入这两个不等式,得-1<a<1 且0<a<1
所以
实数a的取值范围是:0<a<1

追问

第二问呢？

追答

不知你第二问是什么意思

Answer 2

(1):记g(x)=x²+(a-1)x+a,则有g(0)>0,g(1)>0得到a>0;
又g(x)有2个根，所有(b^2-4ac>0),
即(a-1)^2-4a>0得到a>3+2√2或a<3-2√2
综上0<a<3-2√2
(2)f(0)f(1)-f(0)<1/16
f(0)f(1)-f(0)=a(1+2a)-a=2a^2
为比较2a^2与1/16的大小，不妨令2a^2=1/16，
解得a=√2/8,此时的a=√2/8>3-2√2,又
第一问中0<a<3-2√2，所以2a^2<1/16,
即f(0)f(1)-f(0)<1/16

Answer 3

令g(x)=f(x)-x
g(x)=x^2+ax+a-x=x^2+(a-1)x+a
∵g(x)有两个零点x1，x2，且0<x1<x2<1
∴g(0)>0
g(1)>0
△>0
0<-b/2a<1[对称轴
属于(0，1)
∴a>0
a>0
a<3-2√3或a>3+2√3
-1<a<1
∴a无实根

追问

为什么g（0）＞0，g(1)＞0?

追答

这个你画图象就可以知道了
当二次函数开口向上，且在(0，1)有2个不等实根
那只能x=0时的函数值大于0，x=1时的函数值大于0
即g(0)>0，g(1)>0
不好意思，
当△>0时，a^2-6a+1>0
∴a3+2√2
∴0<a<3-2√2