Question

高中数学题快来帮帮忙

已知函数f(x)满足:对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;
(2)证明对任意大于1的正整数t,恒有f(t)>t

Answer 1

(1) 令x=y=0 代入则得到f(0)=-1
令x=y=-1 代入得到f(-2)=2f(-1)+2 由题目的f(-2)=-2知道 f(-1)=-2
令x=1 y=-1 代入得到 f(0)=f(1)+f(-1)
所以 f(1)=f(0)-f(-1)=-1-(-2)=1

(2) 用数学归纳法证明
令y=1 得到 f(x+1)=f(x)+f(1)+x+1=f(x)+x+2
当t=2时 f(2)=f(1)+1+2=4>2 成立
假设t=k时 f(k)>k
则当t=k+1时 f(t)=f(k+1)=f(k)+k+2>k+k+2=2(k+1)>k+1=t
故当t=k+1时也成立
综上 对任意大于1的正整数t 恒有f(t)>t

Answer 2

(1)
f(-2)=f(-4+2)=f(-4)+f(2)-7=2f(-2)+5+2f(1)+2-7=-2
f(1)=1
(2)
f(t)=f(t-1+1)=f(t-1)+f(1)+t
由(1)易知对任意大于0的正整数x, 都有f(x)>0
所以f(t)>t
(以上证明若有错误,敬请谅解)