Question

椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率为2分之根号3,它与直线X+Y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ，求椭圆方程

Answer 1

∵e=c/a=√3/2==>c^2/a^2=3/4==>(a^2-b^2)/a^2=3/4
==>a^2=4b^2

设椭圆的方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，P(x1,y1),Q(x2,y2)
则有：x^2/4b^2+y^2/b^2=1
直线x+y+1=0代入椭圆的方程：
x^2/4b^2+(-x-1)^2/b^2=1
==>5x^2+8x+4-4b^2=0
x1+x2=-8/5,x1x2=(4-4b^2)/5
y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(1-4b^2)/5

因为OP垂直于OQ，即：x1x2+y1y2=0
∴(4-4b^2)/5+(1-4b^2)/5=0
==>5-8b^2=0
==>b^2=5/8

a^2=4b^2
==>a^2=4*5/8=5/2

椭圆方程是：x^2/(5/2)+y^2/(5/8)=1

Answer 2

解：设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1，
由 ca=32得 {c=32ab=12a
∴椭圆方程为 x24b2+y2b2=1，即x2+4y2=4b2设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由OP⊥OQ⇒x1x2=-y1y2 {y=-1-xx2+4y2=4b2⇒5x2+8x+4-4b2=0由△＞0⇒b2＞ 15X1+X2=-85，x1x2= 4-4b25
y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= 4-4b25+(-85)+1=1-4b25
∴ 4-4b25+1-4b25=0
b2= 58＞15
∴椭圆方程为 x252+y258=1