Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e= 3 2 ，它与直线x+y+1=0交于P、Q两

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e= 3 2 ，它与直线x+y+1=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ，求椭圆方程．（O为原点）．

Answer 1

设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ， 由 c a = 3 2 得 c= 3 2 a b= 1 2 a ∴椭圆方程为 x 2 4 b 2 + y 2 b 2 =1 ，即x 2 +4y 2 =4b 2 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）， 则由OP⊥OQ?x 1 x 2 =-y 1 y 2 y=-1-x x 2 +4 y 2 =4 b 2 ?5 x 2 +8x+4-4 b 2 =0 由△＞0?b 2 ＞ 1 5 X 1 + X 2 =- 8 5 ，x 1 x 2 = 4-4 b 2 5 y 1 y 2 =（x 1 +1）（x 2 +1）=x 1 x 2 +x 1 +x 2 +1= 4-4 b 2 5 +(- 8 5 )+1= 1-4 b 2 5 ∴ 4-4 b 2 5 + 1-4 b 2 5 =0 b 2 = 5 8 ＞ 1 5 ∴椭圆方程为 x 2 5 2 + y 2 5 8 =1