Question

导数不等式压轴题

题目在这里 只求第三题解答

Answer 1

(1)令h(x)=e^x-x-1,h'(x)=e^x-1
x<0时h'(x)<0；x>0时h'(x)>0
所以h(x)有极小值h(0)=0，即e^x-x-1≥0
(2)易得g(x)=x
令F(x)=2ln(x+1)-x^2+x
F'(x)=2/(x+1)-2x+1=(-2x^2-x+3)/(x+1)
令F'(x)=0，解得x=1或-3/2
当0≤x<1时,F'(x)>0;当1<x≤2时,F'(x)<0
所以F(x)在[0,2]上有极大值，也是最大值F(1)=2ln2
又F(0)=0,F(2)=2ln3-2>0
所以m的取值范围为(2ln3-2,2ln2)
(3)根据1.得:
当x≠0时,e^x>1+x
所以e^(-k/n)>1-k/n（0<k<n-1）
所以e^(-k)>(1-k/n)^n
所以(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n=
=[1-(n-1)/n]^n+[1-(n-2)/n]^n+...+[1-1/n]^n+1<
<e^(-n+1)+e^(-n+2)+..+e^(-1)+1=
=[1-e^(-n)]/[1-e^(-1)]<
≤1/(1-1/e)=e/(e-1).

Answer 2

(3) 证明：用数学归纳法
① 当n=1时，∵ e-1>0, ∴ 1<e/(e-1) 显然成立
②设当 n=k(k≥2)时，不等式成立则有
(1/k)^k + (2/k)^k + …… + (k/k)^k < e/(e-1)
③ 当 n=k+1时
不等式左边=[1/(k+1)]^(k+1)+[2/(k+1)]^(k+1)+ …… +[k/(k+1)]^(k+1)+[(k+1)/(k+1)](k+1)
=[(1/(k+1))^k+(2/(k+1))^k)+ …… +(k/(k+1))^k]/(k+1) + 1

<[(1/k)^k+(2/k)^k)+ …… +(k/k)^k]/(k+1) + 1
< e/[(e-1)*(k+1)] + 1
而e/[(e-1)*(k+1)] + 1 = [e + (k+1)e-(k+1)]/[(e-1)*(k+1)]
= [(k+1)e]/[(e-1)*(k+1)] + [e-(k+1)]/[(e-1)*(k+1)]
= e/(e-1) + [e-(k+1)]/[(e-1)*(k+1)]
∵ k≥2, ∴ e-(k+1)<0 ==>[e-(k+1)]/[(e-1)*(k+1)]<0
∴ e/[(e-1)*(k+1)] + 1 < e/(e-1)
从而：
[1/(k+1)]^(k+1)+[2/(k+1)]^(k+1)+ …… +[k/(k+1)]^(k+1)+[(k+1)/(k+1)](k+1)
< e/[(e-1)*(k+1)] + 1 < e/(e-1)
即：当n=k+1时不等式成立
④ 综合①②③，对于n∈N*，不等式
(1/n)^n + (2/n)^n + …… + (n/n)^n < e/(e-1) 成立。

Answer 3

题目错误，当n=2时不成立。

Answer 4

问题呢？？