Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF

当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

Answer 1

当AB=AC,且∠BAC=150°时:四边形ADEF是正方形.
证明:∵∠BCE=∠ACF=60°.
∴∠BCA=∠ECF;又BC=EC,AC=FC.
∴⊿BCA≌⊿ECF(SAS),EF=BA=DA;
同理可证:⊿ABC≌⊿DBE(SAS),DE=AC=AF.
∴四边形ADEF为平行四边形.
∵AB=AC.
∴AD=AF,则四边形ADEF为菱形;
又∠DAF=360°-∠BAC-∠BAD-∠CAF=360°-150°-60°-60°=90°.
∴四边形ADEF是正方形.