Question

如图，以△ABC为边,在BC的同侧分别作3个等边三角形,即△ABD△BCE△ACF。请回答问题并说明理由。

问题①：四边形ADEF是什么四边形？ 问题②：当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。 问题③：当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形。 问题④:当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形。

Answer 1

如图以△ABC为边,在BC的同侧分别作3个等边三角形,即△ABD△BCE△ACF.请回答问题并说明理由.
问题①：四边形ADEF是什么四边形.
问题②：当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形.
问题③：当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形.
问题④：当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是正方形.

①：四边形ADEF是平行四边形
理由：∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理：EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形

②：当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
理由：∠BAC=150°,∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形

③：当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°.即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

④：当△ABC满足∠BAC=150°,AB=AC时,四边形ADEF是正方形
理由：由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形；由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形

Answer 2

因CA=CF,CB=CE,∠ACB=60°-∠ACE=∠FCE,故△ABC≌△FEC； 同理可证△ABC≌△DBE.得：DA=AB=EF、DE=AC=AF.所以: ①：四边形ADEF是平行四边形。 ②：当△ABC中∠A=150°时，∠DAE=90°,四边形ADEF是矩形。 ③：当△ABC中AB=AC时，四边形ADEF是菱形。 ④:当△ABC中∠A=150°、AB=AC时，四边形ADEF是正方形。

Answer 3

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