Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由 （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。

Answer 1

解：（1）∵△ABD，△BCE为等边三角形 ∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BE=BC                           ∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60° ∴∠ABC=∠DBE            ∴△ABC≌△DBE ∴DE=AC      同理：EF=AB               ∵AB=AD，AC=AF ∴EF=AD，DE=AF ∴四边形ADEF是平行四边形      （2）∵四边形ADEF是菱形， ∴AD=AF． ∵△ABD，△ACF均为等边三角形， ∴AB=AD，AC=AF． ∴AB=AC时，四边形ADEF是菱形． （3）△ABC为等边三角形时，四边形ADEF不存在