Question

如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1

如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）

Answer 1

（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BCA中

BE＝BC ∠DBE＝∠ABC BD＝BA

，
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）
理由：∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=90°，
∴?ADEF是矩形．

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分）
理由：∵AB=AC，
∴AD=AF，
∴?ADEF是菱形．

（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）