Question

函数f(X)=aX^3+X^2-aX，其中常数a属于R，X属于R。 如果存在a属于（－∞，-1），使h(X)=f(X)+f'(X),

（接上）X属于（-1，-b）（b大于-1），在X=-1处取得最小值，求b的最大值。

Answer 1

f(x)=ax³+x²-ax
f'(x)=3ax²+2x-a
h(x)=f(x)+f'(x)=ax³+(3a+1)x²+(2-a)x-a
h'(x)=3ax²+2(3a+1)x+(2-a)

若h(x)在x=-1处有极值，则h'(-1)=0
h'(-1)=3a-6a-2+2-a=-4a=0
所以a=0

这与题目中"存在a属于（－∞，-1）"相矛盾。

怎么回事？难道题目搞错了？
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看来是我搞错了。
h(x)在x=-1处存在最小值，并不一定就说明h'(-1)=0

还有两种情形就是：
1、在x=-1处的左侧，h(x)是减函数，在x=-1边界处有最小值；
2、在x=-1处的右侧，h(x)为增函数，在x=-1边界处有最小值。

根据题目中“X属于（-1，-b）（b大于-1）”推断，-b在-1的右侧，所以判断是属于情形2。即h(x)在区间（-1，-b）上是增函数。

此外，b>-1，-b>-1，说明-1<b<1。

现在的问题就是增函数区间（-1，-b）的右端到何处结束？
这个问题可以根据h'(x)来判断。如果h'(x)>0，h(x)必定是增函数；h'(x)<0，h(x)必定是减函数；
而h'(x)=0就是h(x)为增函数减函数的转折点了。

h'(x)=3ax²+2(3a+1)x+(2-a)
由于a属于（－∞，-1），此函数开口向下。对称轴为 x=-(6a+2)/(2*3a)=-1-1/(3a)。
令h'(x)=0，经计算判别式△=48a²+4>0，所以此方程有两解：
x1=[-6a-2-sqrt(△)] / 6a，x2=[-6a-2+sqrt(△)] / 6a (注：sqrt是开平方)

所以在区间(x1，x2)上，h'(x)>0，h(x)都是增函数区间。在x2处，h'(x)=0，h(x)进入由增函数到减函数的转换点。此x2点，就是-b点可能达到的最大值(但还必须保证-1<b<1即-b<1)。

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天哪，我要崩溃了，还没搞定！

Answer 2

f'(x)=3ax^2+2x-a, a<-1
h(x)=ax^3+x^2-ax+3ax^2+2x-a=ax^3+x^2(3a+1)+(2-a)x-a
h'(x)=3ax^2+2(3a+1)x+(2-a), 此为开口向下，对称轴在x=-(3a+1)/(3a)=-(1+1/3a)
对称轴大于-1,且小于-2/3,
因此b的最大值为2/3, 这样在（-1，-b)上是增函数，最小值在-1处取得。

Answer 3

碉堡了，前天刚做到过
由题可知h（b）>=h(-1)
h(b)=ab^3=3ab^2+b^2+2b-ab-a
h(1)=2a-1
代入化简，提取参数a得a<=-(b+1)/(b^2-1)(b+3)<=-1 (这里可能有错，不过方法是这样）
b+1>=b^2+2b-3 可得b^+3b-2<=0，等于0时得出b （也可能有错吧，不等式正负号变化太烦了）
答案是（-1+（根号17））/2
我也是看了老师的答案后才知道，原来来大家都不会

Answer 4

题目有错